Konfidenzintervalle

Kurz gesagt: Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich um den Wert aus einer Stichprobe, der bei 95 % in etwa 95 von 100 Stichproben den wahren Wert einfängt; der Bootstrap baut es aus Neustichproben mit Zurücklegen.

Problem

„Wie viel gibt ein Kunde pro Bestellung aus?“

Der Chef fragt, wie hoch die durchschnittliche Bestellung ist. Im echten Leben hast du selten alles: Sagen wir, du hast 200 Bestellungen, zufällig aus dem Jahr gezogen. Hier haben wir auch das ganze Jahr, 10.459 Bestellungen ohne die stornierten, und können sehen, was passiert:

PythonDaten: die Tabellen des Shops

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
items = pd.read_csv('year_items.csv')
cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id']
items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)]
items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price']
totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum()

print(len(totals))
rng = np.random.default_rng(1)
for i in range(3):
    sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False)
    print(round(sample.mean(), 2))

import numpy as np import pandas as pd orders = pd.read_csv('year_orders.csv') items = pd.read_csv('year_items.csv') cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id'] items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)] items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price'] totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum() print(len(totals)) rng = np.random.default_rng(1) for i in range(3): sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False) print(round(sample.mean(), 2))

▶ AusführenCode zurücksetzen

Drei Stichproben mit 200 geben drei verschiedene Mittelwerte: 9,77 €, 10,74 € und 11,16 €. Aus der Lektion über Stichproben weißt du, dass der Mittelwert rauscht. Aber du hast nur eine Stichprobe. Was sagst du dem Chef: eine Zahl oder etwas mehr?

Ehrlicher ist es zu sagen: „Der Durchschnitt liegt irgendwo zwischen … und …“. Offen bleibt, wie breit dieses „irgendwo“ sein soll, aus der Stichprobe, die du hast, und sonst nichts.

Die Idee

Die Stichprobe statt des Jahres: der Bootstrap

Könntest du neue Stichproben aus dem Jahr ziehen, sähest du, wie stark der Mittelwert schwankt. Das kannst du nicht. Also benutzt du die Stichprobe als kleines Modell des Jahres: Du ziehst aus ihr 200 Bestellungen mit Zurücklegen und berechnest den Mittelwert. Das ist eine Neustichprobe (Resample). Eine Bestellung kommt doppelt vor, eine andere gar nicht, und der Mittelwert ist jedes Mal ein wenig anders.

Du machst das 10.000-mal und schaust, wo die Mittelwerte liegen. Du schneidest 2,5 % der kleinsten und 2,5 % der größten ab. Die mittleren 95 % sind das Konfidenzintervall. Die Methode heißt Bootstrap:

PythonDaten: die Tabellen des Shops

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
items = pd.read_csv('year_items.csv')
cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id']
items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)]
items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price']
totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum()

rng = np.random.default_rng(42)
sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False)
print(sample[:8])
boots = rng.choice(sample, size=(10_000, 200)).mean(axis=1)
print(boots[:3].round(2))
low, high = np.quantile(boots, [0.025, 0.975])
print(round(sample.mean(), 2), round(low, 2), round(high, 2))
print(round(totals.mean(), 2))

import numpy as np import pandas as pd orders = pd.read_csv('year_orders.csv') items = pd.read_csv('year_items.csv') cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id'] items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)] items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price'] totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum() rng = np.random.default_rng(42) sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False) print(sample[:8]) boots = rng.choice(sample, size=(10_000, 200)).mean(axis=1) print(boots[:3].round(2)) low, high = np.quantile(boots, [0.025, 0.975]) print(round(sample.mean(), 2), round(low, 2), round(high, 2)) print(round(totals.mean(), 2))

▶ AusführenCode zurücksetzen

Die ersten 8 Bestellungen der Stichprobe reichen von 0,90 € bis 45,20 €. Die ersten drei Neustichproben geben Mittelwerte von 10,07 €, 11,07 € und 11,13 €. Der Mittelwert der Stichprobe ist 11,41 €, und das 95-%-Intervall reicht von 10,04 € bis 12,83 €. Der wahre Mittelwert des Jahres ist 10,63 €: Er liegt darin.

rng.choice(sample, size=(10_000, 200)) ist eine Tabelle mit 10.000 × 200: Jede Zeile ist eine Neustichprobe. mean(axis=1) gibt einen Mittelwert pro Zeile. Eine Schleife ist nicht nötig.

Sieh es dir an

Wie aus einer Stichprobe ein Intervall entsteht

Derselbe Code, langsam: Kacheln aus der Stichprobe werden in eine Neustichprobe kopiert, ihr Mittelwert fällt auf die Achse, und 10.000 solche Mittelwerte ergeben einen Haufen.

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
items = pd.read_csv('year_items.csv')
cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id']
items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)]
items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price']
totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum()

rng = np.random.default_rng(42)
sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False)
print(sample[:8])
boots = rng.choice(sample, size=(10_000, 200)).mean(axis=1)
print(boots[:3].round(2))
low, high = np.quantile(boots, [0.025, 0.975])
print(round(sample.mean(), 2), round(low, 2), round(high, 2))
print(round(totals.mean(), 2))

Schritt für Schritt, in Worten

1. totals ist der Wert jeder Bestellung des Jahres. Im echten Leben siehst du nicht alles: Du hast nur eine Stichprobe.
2. sample ist eine Stichprobe von 200 Bestellungen. Oben stehen die ersten 8, in Euro: 3,6, 0,9, 2,1, 17, 45,2, 13,2, 3,4 und 2.
3. Eine Neustichprobe: 200 Züge aus sample mit Zurücklegen. Eine Bestellung kommt doppelt vor, eine andere gar nicht.
4. Der Mittelwert der Neustichprobe fällt als Punkt auf die Achse. Die ersten drei sind 10,07 €, 11,07 € und 11,13 €.
5. So geht es 10.000-mal. Die Punkte häufen sich um den Mittelwert der Stichprobe, 11,41 €.
6. Links werden 2,5 % und rechts 2,5 % abgeschnitten. Die mittleren 95 % sind das Intervall: von 10,04 € bis 12,83 €.
7. Der wahre Mittelwert des Jahres ist 10,63 €, und er liegt darin. Im echten Leben kennst du ihn nicht: Das Intervall sagt, wie weit er danebenliegen kann.

Der Haufen in der Szene ist eine Skizze: Die Zahlen in den Beschriftungen sind echt, von der Stichprobe bis zu den Grenzen des Intervalls. Hier sind die echten 10.000 Mittelwerte mit matplotlib, mit den beiden Grenzen (blaue Linien) und dem wahren Mittelwert (die orange gestrichelte):

PythonDaten: die Tabellen des Shops

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
items = pd.read_csv('year_items.csv')
cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id']
items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)]
items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price']
totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum()

rng = np.random.default_rng(42)
sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False)
boots = rng.choice(sample, size=(10_000, 200)).mean(axis=1)
low, high = np.quantile(boots, [0.025, 0.975])

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 3.5))
ax.hist(boots, bins=40, color='#9aa3ad')
ax.axvline(low, color='#0072B2')
ax.axvline(high, color='#0072B2')
ax.axvline(totals.mean(), color='#D55E00', linestyle='--')
ax.set_title('10.000 Mittelwerte von Neustichproben')
ax.set_xlabel('mittlere Bestellung, €')
ax.set_ylabel('Anzahl')

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import pandas as pd orders = pd.read_csv('year_orders.csv') items = pd.read_csv('year_items.csv') cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id'] items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)] items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price'] totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum() rng = np.random.default_rng(42) sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False) boots = rng.choice(sample, size=(10_000, 200)).mean(axis=1) low, high = np.quantile(boots, [0.025, 0.975]) fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 3.5)) ax.hist(boots, bins=40, color='#9aa3ad') ax.axvline(low, color='#0072B2') ax.axvline(high, color='#0072B2') ax.axvline(totals.mean(), color='#D55E00', linestyle='--') ax.set_title('10.000 Mittelwerte von Neustichproben') ax.set_xlabel('mittlere Bestellung, €') ax.set_ylabel('Anzahl')

▶ AusführenCode zurücksetzen

Probier es aus

Ohne Zurücklegen?

1. Beim Bootstrap zieht jede Neustichprobe 200 Bestellungen aus einer Stichprobe von 200. Was passiert, wenn du ohne Zurücklegen ziehst?

Das Intervall wird genauerNichts: Mit und ohne Zurücklegen ergibt dasselbeJede Neustichprobe ist dieselbe Stichprobe, nur gemischt: Der Mittelwert ist immer 11,41 €, und das Intervall ist null

Prüfen

Der Median der Bestellungen ist gegenüber den großen Bestellungen robuster. Bilde ein 95-%-Intervall für den Median mit derselben Stichprobe von 200: Speichere die Mediane von 10.000 Neustichproben in meds und die Grenzen des Intervalls in low und high.

PythonDaten: die Tabellen des Shops

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
items = pd.read_csv('year_items.csv')
cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id']
items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)]
items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price']
totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum()

rng = np.random.default_rng(42)
sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False)
meds = ...
low, high = ...
print(np.median(sample), low, high)

import numpy as np import pandas as pd orders = pd.read_csv('year_orders.csv') items = pd.read_csv('year_items.csv') cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id'] items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)] items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price'] totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum() rng = np.random.default_rng(42) sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False) meds = ... low, high = ... print(np.median(sample), low, high)

Prüfen▶ Ausführen

Die Idee

Was 95 % bedeuten

Der wahre Mittelwert des Jahres ist eine Zahl: 10,63 €. Das Intervall aus einer Stichprobe fängt sie entweder ein oder nicht. 95 % ist ein Versprechen der Methode: Wenn du viele Stichproben ziehst und für jede ein Intervall baust, fangen etwa 95 von 100 Intervallen die Wahrheit ein. Das heißt Konfidenzniveau.

Hier haben wir das ganze Jahr und können das Versprechen prüfen. 100 Stichproben mit je 200, für jede ein Bootstrap mit 1.000 Neustichproben:

PythonDaten: die Tabellen des Shops

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
items = pd.read_csv('year_items.csv')
cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id']
items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)]
items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price']
totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum()

truth = totals.mean()
rng = np.random.default_rng(7)
caught = 0
for i in range(100):
    sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False)
    boots = rng.choice(sample, size=(1_000, 200)).mean(axis=1)
    low, high = np.quantile(boots, [0.025, 0.975])
    if low <= truth <= high:
        caught += 1
print(caught)

import numpy as np import pandas as pd orders = pd.read_csv('year_orders.csv') items = pd.read_csv('year_items.csv') cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id'] items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)] items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price'] totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum() truth = totals.mean() rng = np.random.default_rng(7) caught = 0 for i in range(100): sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False) boots = rng.choice(sample, size=(1_000, 200)).mean(axis=1) low, high = np.quantile(boots, [0.025, 0.975]) if low <= truth <= high: caught += 1 print(caught)

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93 von 100 Intervallen fangen 10,63 € ein. Das liegt nah an 95: Die 100 Stichproben sind selbst zufällig, und die nächsten 100 geben etwas leicht anderes. Etwa 5 von 100 ehrlichen Intervallen verfehlen die Wahrheit, und es gibt keinen Weg zu wissen, welche.

Genauer, für Neugierige

Es ist verlockend zu sagen: „Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der wahre Mittelwert zwischen 10,04 € und 12,83 €.“ Streng genommen stimmt das nicht: Der wahre Mittelwert ist nicht zufällig, und das Intervall aus deiner Stichprobe enthält ihn entweder oder nicht. Zufällig ist die Stichprobe. 95 % beziehen sich also auf die Methode, nicht auf eine bestimmte Zahl. Schreib in einem Bericht „95-%-Konfidenzintervall: 10,04 €–12,83 €“.

Der Bootstrap funktioniert, wenn die Stichprobe zufällig ist. Stammen die 200 Bestellungen aus einem einzigen Dezember, gilt das Intervall für den Dezember, egal wie viele Neustichproben du machst: Neustichproben reparieren keine schiefe Stichprobe.

1. Das Intervall für die durchschnittliche Bestellung reicht von 10,04 € bis 12,83 €. Welcher Satz stimmt?

95 % der Bestellungen liegen zwischen 10,04 € und 12,83 €Die Methode, die es liefert, fängt den wahren Mittelwert in etwa 95 von 100 Stichproben einDie durchschnittliche Bestellung ist 11,41 €, mit einem Fehler von höchstens 1,42 €

Prüfen

Die Idee

Die Formel als Abkürzung

Für einen Mittelwert gibt es eine Abkürzung ohne 10.000 Neustichproben. Das Rauschen des Mittelwerts ist der Standardfehler: std / √n. Bei einer Normalverteilung liegen die mittleren 95 % innerhalb von 1,96 Standardfehlern um die Mitte. Das Intervall ist also der Mittelwert ± 1,96 × std / √n:

PythonDaten: die Tabellen des Shops

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
items = pd.read_csv('year_items.csv')
cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id']
items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)]
items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price']
totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum()

rng = np.random.default_rng(42)
sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False)
se = sample.std(ddof=1) / np.sqrt(len(sample))
low = sample.mean() - 1.96 * se
high = sample.mean() + 1.96 * se
print(round(se, 2), round(low, 2), round(high, 2))

samples = rng.choice(totals.to_numpy(), size=(1_000, 200))
means = samples.mean(axis=1)
ses = samples.std(axis=1, ddof=1) / np.sqrt(200)
inside = (means - 1.96 * ses <= totals.mean()) & (totals.mean() <= means + 1.96 * ses)
print(inside.sum())

import numpy as np import pandas as pd orders = pd.read_csv('year_orders.csv') items = pd.read_csv('year_items.csv') cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id'] items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)] items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price'] totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum() rng = np.random.default_rng(42) sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=200, replace=False) se = sample.std(ddof=1) / np.sqrt(len(sample)) low = sample.mean() - 1.96 * se high = sample.mean() + 1.96 * se print(round(se, 2), round(low, 2), round(high, 2)) samples = rng.choice(totals.to_numpy(), size=(1_000, 200)) means = samples.mean(axis=1) ses = samples.std(axis=1, ddof=1) / np.sqrt(200) inside = (means - 1.96 * ses <= totals.mean()) & (totals.mean() <= means + 1.96 * ses) print(inside.sum())

▶ AusführenCode zurücksetzen

Der Standardfehler ist 0,72 €, und das Intervall reicht von 10,00 € bis 12,81 €. Der Bootstrap gab 10,04 €–12,83 €: fast dasselbe. Die zweite Zeile prüft das Versprechen der Formel: Von 1.000 Stichproben mit je 200 fangen 948 Intervalle die Wahrheit ein. Nah an 950.

std(ddof=1) teilt durch n − 1 statt durch n, wie std() in pandas. Bei 200 Bestellungen steckt der Unterschied in der dritten Stelle.

Genauer, für Neugierige

Die Zahl 1,96 kommt aus der Normalverteilung: 95 % der Fläche liegen zwischen −1,96 und 1,96 Standardabweichungen. Der Mittelwert von 200 Bestellungen ist nah an normal, selbst wenn die Bestellungen selbst einen langen Schwanz haben (der zentrale Grenzwertsatz aus der Lektion über Stichproben). Bei kleinen Stichproben, unter 30, oder bei einem sehr langen Schwanz liegt die Formel weiter daneben, und der Bootstrap ist ehrlicher.

Die Idee

Ein Intervall für einen Anteil

Welcher Teil der Bestellungen ist storniert? Ein Anteil ist ein Mittelwert aus Nullen und Einsen: True ist 1, False ist 0, und mean() gibt den Anteil. Also funktionieren der Bootstrap und die Formel auch hier. Die Formel für einen Anteil ist p ± 1,96 × √(p(1 − p) / n):

PythonDaten: die Tabellen des Shops

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
is_cancelled = (orders['status'] == 'cancelled').to_numpy()

rng = np.random.default_rng(5)
sample = rng.choice(is_cancelled, size=500, replace=False)
p = sample.mean()
boots = rng.choice(sample, size=(10_000, 500)).mean(axis=1)
print(p, np.quantile(boots, [0.025, 0.975]))
se = np.sqrt(p * (1 - p) / 500)
print(round(p - 1.96 * se, 3), round(p + 1.96 * se, 3))
print(round(is_cancelled.mean(), 3))

import numpy as np import pandas as pd orders = pd.read_csv('year_orders.csv') is_cancelled = (orders['status'] == 'cancelled').to_numpy() rng = np.random.default_rng(5) sample = rng.choice(is_cancelled, size=500, replace=False) p = sample.mean() boots = rng.choice(sample, size=(10_000, 500)).mean(axis=1) print(p, np.quantile(boots, [0.025, 0.975])) se = np.sqrt(p * (1 - p) / 500) print(round(p - 1.96 * se, 3), round(p + 1.96 * se, 3)) print(round(is_cancelled.mean(), 3))

▶ AusführenCode zurücksetzen

In einer Stichprobe von 500 Bestellungen sind 5,8 % storniert. Der Bootstrap gibt von 3,8 bis 8,0 %, die Formel von 3,8 bis 7,8 %. Der wahre Anteil für das Jahr ist 5,9 %. Aus 500 Bestellungen kennst du den Anteil auf etwa ± 2 Punkte genau: „5,8 %“ ohne Intervall klingt genauer, als es ist.

Die Idee

Eine kleine Stichprobe, ein breites Intervall

Je weniger Bestellungen, desto stärker rauscht der Mittelwert und desto breiter ist das Intervall:

PythonDaten: die Tabellen des Shops

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
items = pd.read_csv('year_items.csv')
cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id']
items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)]
items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price']
totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum()

rng = np.random.default_rng(3)
for n in [50, 200, 800]:
    sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=n, replace=False)
    boots = rng.choice(sample, size=(10_000, n)).mean(axis=1)
    low, high = np.quantile(boots, [0.025, 0.975])
    print(n, round(low, 2), round(high, 2), round(high - low, 2))

import numpy as np import pandas as pd orders = pd.read_csv('year_orders.csv') items = pd.read_csv('year_items.csv') cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id'] items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)] items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price'] totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum() rng = np.random.default_rng(3) for n in [50, 200, 800]: sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=n, replace=False) boots = rng.choice(sample, size=(10_000, n)).mean(axis=1) low, high = np.quantile(boots, [0.025, 0.975]) print(n, round(low, 2), round(high, 2), round(high - low, 2))

▶ AusführenCode zurücksetzen

50 Bestellungen geben ein Intervall von 4,73 € Breite, 200 Bestellungen 2,69 € und 800 Bestellungen 1,35 €. 4-mal so viele Daten geben ein etwa halb so breites Intervall, weil der Standardfehler mit der Wurzel aus n fällt. Genauigkeit ist teuer: Die Breite noch einmal zu halbieren braucht wieder 4-mal so viele Bestellungen.

Übung

Die Antwort für den Chef

Eine neue Stichprobe von 400 Bestellungen (Seed 2026). Bilde ein 95-%-Intervall für die durchschnittliche Bestellung auf zwei Wegen: mit einem Bootstrap aus 10.000 Neustichproben (boot_low, boot_high) und mit der Formel (se ist der Standardfehler, f_low und f_high sind die Grenzen).

PythonDaten: die Tabellen des Shops

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
items = pd.read_csv('year_items.csv')
cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id']
items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)]
items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price']
totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum()

rng = np.random.default_rng(2026)
sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=400, replace=False)
boots = ...
boot_low, boot_high = ...
se = ...
f_low = ...
f_high = ...

import numpy as np import pandas as pd orders = pd.read_csv('year_orders.csv') items = pd.read_csv('year_items.csv') cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id'] items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)] items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price'] totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum() rng = np.random.default_rng(2026) sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=400, replace=False) boots = ... boot_low, boot_high = ... se = ... f_low = ... f_high = ...

Prüfen▶ Ausführen

Der Chef denkt über kostenlose Lieferung ab 20 € nach. Welcher Teil der Bestellungen liegt über 20 €? Speichere aus einer Stichprobe von 300 Bestellungen (Seed 7) den Anteil in p und sein 95-%-Intervall in low und high.

PythonDaten: die Tabellen des Shops

import numpy as np
import pandas as pd

orders = pd.read_csv('year_orders.csv')
items = pd.read_csv('year_items.csv')
cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id']
items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)]
items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price']
totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum()

rng = np.random.default_rng(7)
sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=300, replace=False)
big = ...
p = ...
low, high = ...
print(round(p, 3), round(low, 3), round(high, 3))

import numpy as np import pandas as pd orders = pd.read_csv('year_orders.csv') items = pd.read_csv('year_items.csv') cancelled = orders.loc[orders['status'] == 'cancelled', 'id'] items = items[~items['order_id'].isin(cancelled)] items['revenue'] = items['quantity'] * items['unit_price'] totals = items.groupby('order_id')['revenue'].sum() rng = np.random.default_rng(7) sample = rng.choice(totals.to_numpy(), size=300, replace=False) big = ... p = ... low, high = ... print(round(p, 3), round(low, 3), round(high, 3))

Prüfen▶ Ausführen

Test

Teste dich

1. Warum nimmt der Bootstrap die 0,025- und 0,975-Quantile der Mittelwerte und nicht 0,05 und 0,95?

Damit das Intervall schmaler istWeil 0,05 die Schwelle des p-Werts istDu schneidest auf jeder Seite 2,5 % ab: Die mittleren 95 % bleiben

2. Das Intervall aus 200 Bestellungen ist 2,69 € breit. Wie viele Bestellungen brauchst du für ein Intervall von etwa 1,35 € Breite?

Etwa 400: doppelt so vieleEtwa 800: 4-mal so viele Bestellungen geben ein halb so breites IntervallEtwa 100: Die kleinere Stichprobe ist genauer

3. Die Formel ist der Mittelwert ± 1,96 × std / √n. Wann ziehst du den Bootstrap vor?

Wenn du ein Intervall für einen Median oder eine andere Rechnung willst, für die du keine Formel zur Hand hastImmer: Die Formel ist falschNie: Der Bootstrap ist nur zum Lernen da

4. In einer Stichprobe von 500 Bestellungen sind 5,8 % storniert, und das Intervall reicht von 3,8 bis 7,8 %. Der Chef sagt: „Also sind die Stornierungen 5,8 %.“ Was antwortest du?

Etwa 5,8 %, aber aus 500 Bestellungen wissen wir nur, dass sie irgendwo zwischen 3,8 und 7,8 % liegenGenau 5,8 %: Es ist berechnetWir wissen nichts: Die Stichprobe ist klein

Prüfen

Lektion von vorn beginnen

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